已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,且z1+z2=i.求z1,z2

Question

已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,且z1+z2=i.求z1,z2

Answer 1

设z1=a+bi
z2=c+di
|z1|=√(a^2+b^2)=1 -->a^2+b^2=1 1
|z2|=√(c^2+d^2)=1 c^2+d^2=1 2
z1+z2=(a+c)+(b+d)i=i
得
a+c=0
b+d=1
1式-2式得
a^2-c^2+b^2-d^2=0
(a+c)(a-c)+(b+d)(b-d)=0
b-d=0
b=d
b=d=1/2
1式+2式得
a^2+c^2+1/4+1/4=2
a^2+c^2=3/2
2a^2=3/2
a^2=3/4
a=√3/2 或a=-√3/2
c=-√3/2 或 c=√3/2
∴
z1=√3/2+i/2
z2=-√3/2+i/2
或
z1=-√3/2+i/2
z2=√3/2+i/2