已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体AB1D1C的体积．

Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，求

（1）异面直线BD与AB₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四面体AB₁D₁C的体积．

Answer 1

（1）连接DC₁，BC₁，
易知DC₁∥AB₁，
∴∠BDC₁就是异面直线BD 与AB₁所成角，
在△BDC₁中，DC₁=BC₁=√(5)，BD=√(2)，
∴cos∠BDC₁=((√(2))/(2))/(√(5))=(√(10))/(10)，
∴∠BDC₁=arccos(√(10))/(10)．
（2）V_A-B1D1C=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1
而V_{ABCD-A1B1C1D1}=S_ABCD•AA₁=1×2=2，
V_B1-ABC=V_D1-ACD=V_DA1C1D1=V_B-A1B1C1=(1)/(3)×(1)/(2)×2
∴V_A-B1D1C=2-4×(1)/(3)×(1)/(2)×2=(2)/(3)．