已知函数f（x）=ex，x≤-1xe，x>-1，关于x的方程f2（x）+t|f（x）|+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（）A.（-∞，-e2+1e）B.（e2+1e，+∞）C.(-e2+1e，-2)D.(2，e2+1e)

Question

已知函数f（x）=

ex，x≤-1

(x)/(e)，x>-1

，关于x的方程f²（x）+t|f（x）|+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（　　）

A. （-∞，-

(e2+1)/(e)）

B. （

(e2+1)/(e)，+∞）

C. (-

(e2+1)/(e)，-2)

D. (2，

(e2+1)/(e))

Answer 1

|f（x）|=

ex．x≤-1

(|x|)/(e)，x>-1

在（-∞，-1]和[0，+∞）上单调递增，则[-1，0]单调递减．
令|f（x）|=m，由y=|f（x）|的图象可知：
当m=0，或m>(1)/(e)时，|f（x）|=m有1解；当0<m<(1)/(e)时，|f（x）|=m有3解；当m=(1)/(e)时，|f（x）|=m有两解．
故方程f²（x）+t|f（x）|+1=0有四个不同的实数根，则|f（x）|的两个值必须一个在（0，(1)/(e)）内，一个在（(1)/(e)，+∞）内．
即方程m²+tm+1=0有两个不等的实根m₁，m₂，且m1∈(0，(1)/(e))，m2∈((1)/(e)，+∞)
令g（m）=m²+tm+1
∵g（0）=1>0
∴只需g（(1)/(e)）<0，即(1)/(e2)+(t)/(e)+1<0，得t<-(e2+1)/(e)
即t的取值范围为(-∞，-(e2+1)/(e))，故选A