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如图,已知四边形ABCD是正方形,M是BC边上一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.(1)求证:AM=AD+MC;(2)AM=DE+BM是否成立?请直接做出判断,不需要证明.
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如图,已知四边形ABCD是正方形,M是BC边上一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
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(1)求证:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?请直接做出判断,不需要证明.
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(1)求证:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?请直接做出判断,不需要证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:延长AE、BC交于点N,如图1(1),
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠ENC,
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE,
∴∠ENC=∠MAE,
∴MA=MN,
在△ADE和△NCE中,
,
∴△ADE≌△NCE(AAS),
∴AD=NC,
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC;
(2) AM=DE+BM成立,
理由如下:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC,
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°,
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE,
在△ABF和△ADE中,
,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴BF=DE,∠F=∠AED,
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE,
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM,
∴∠F=∠FAM,
∴AM=FM,
∴AM=FB+BM=DE+BM.
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∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠ENC,
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE,
∴∠ENC=∠MAE,
∴MA=MN,
在△ADE和△NCE中,
|
∴△ADE≌△NCE(AAS),
∴AD=NC,
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC;
(2) AM=DE+BM成立,
理由如下:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.
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∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC,
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°,
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE,
在△ABF和△ADE中,
|
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴BF=DE,∠F=∠AED,
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE,
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM,
∴∠F=∠FAM,
∴AM=FM,
∴AM=FB+BM=DE+BM.
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