已知a，b，c∈N*，函数f（x）=ax2+bx+c在区间（-1，0）上有两个不同的零点，则f（1）的最小值为．

Question

已知a，b，c∈N^*，函数f（x）=ax²+bx+c在区间（-1，0）上有两个不同的零点，则f（1）的最小值为______．

Answer 1

据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（1，0）中，
故当x=-1时，a-b+c＞0，(c)/(a)＜1，且b²-4ac＞0①，
可见a-b+c≥1②，且a＞c③，
所以a+c≥b+1＞2√(ac)+1，可得（√(a)-√(c)）²＞1，
③得，√(a)＞√(c)+1，故a＞4，
又因为b＞2√(ac)≥2√(5×1)＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．
故答案为：11．