z^2=3a^2-x^2-y^2,x^2+y^2=2az(a>0)所围成的立体体积

Question

z^2 =3a^2 -x^2 -y^2 ,x^2 + y^2 = 2az(a>0)所围成的立体体积

Answer 1

所围成的立体体积=
∫[√（3a^2 -x^2 -y^2）-（x^2 + y^2 ）/ (2a)]dxdy
（注积分区域为二曲面交线所围成的圆面）
令x=ycosθ,y=rsinθ.
新的积分区域为D:0≤r≤√2*a,0≤θ≤2π.
所围成的立体体积
=∫[√(3a^2-r＾2)-r＾2/(2a)]*r*drdθ
=[-(1/3)*√(3a^2-r＾2)＾3-r＾4/(8a)]
分别对r,θ代入区域D的上界,下界并相减、
结果:(2√3-5/3)π*a＾3