已知函数f（x）=xlnx-ex+1（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）<sinx在（0，+∞）上恒成立．

Question

已知函数f（x）=xlnx-e^x+1
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）<sinx在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

（Ⅰ） f′（x）=lnx+1-e^x，
f（1）=1-e，f′（1）=1-e，
故切线方程是：y-1+e=（1-e）（x-1），
即（1-e）x-y=0；
（Ⅱ）证明：要证f（x）即xlnx-e^x+1-sinx<0在（0，+∞）恒成立，也就是证xlnxx+sinx-1在（0，+∞）上恒成立，
当0x+sinx-1>0，xlnx≤0，
故xlnxx+sinx-1，也就是f（x）当x>1时，令g（x）=e^x+sinx-1-xlnx，
g′（x）=e^x+cosx-lnx-1，
令h（x）=g′（x）=e^x+cosx-lnx-1，
h′（x）=ex-(1)/(x)-sinx>0，故h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）>h（1）=e+cos1-1>0，即g′（x）>0，则g（x）>g（1）=e+sin1-1>0，
即xlnx<e^x+sinx-1，即f（x）<sinx，
综上所述，f（x）<sinx在（0，+∞）上恒成立．