（2012•梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，23）、D（0，33），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是（6，23）（6，23）；②∠C

Question

（2012•梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2√(3)）、D（0，3√(3)），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是

（6，2√(3)）

（6，2√(3)）

；②∠CAO=______度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为

（3，3√(3)）

（3，3√(3)）

；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2√(3)），
∴点B的坐标为：（6，2√(3)）；

②∵tan∠CAO=(OC)/(OA)=(2√(3))/(6)=(√(3))/(3)，
∴∠CAO=30°；

③如下图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3√(3)），
∴PE=3√(3)，
∴AE=(PE)/(tan60°)=3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3√(3)）；

故答案为：①（6，2

作业帮用户 2017-10-01 举报

问题解析

（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；矩形的性质；梯形；解直角三角形．

考点点评：

此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．

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