给一个带有未知参数a的函数,并定义该函数在某一固定区间内恒大于某个值,求a的值或取值范围,求方法例：f(x)=x^3+ax^2+4x,在[1,3]上恒大于0,求a的值或取值范围,

Question

给一个带有未知参数a的函数,并定义该函数在某一固定区间内恒大于某个值,求a的值或取值范围,求方法
例：f(x)=x^3+ax^2+4x,在[1,3]上恒大于0,求a的值或取值范围,

Answer 1

基本上是利用最值解决
1）可以直接求原函数最值
2）可以分离后求新函数最值：将a和x分离在不等式两侧

分离法：
x∈[1,3], f(x)=x^3+ax^2+4x≥0恒成立
即ax²≥-x³-4x, a≥-x-4/x恒成立
设g(x)=-x-4/x
需a≥g(x)max即可
g'(x)=-1+4/x²=(4-x²)/x²=-(x+2)(x-2)/x²
∴x∈[1,2)时,g'(x)>0,g(x)递增
x∈(2,3]时,g'(x)