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已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD.PD垂直平面ABCD,探索图中的平行与垂直关系.
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已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD.PD垂直平面ABCD,探索图中的平行与垂直关系.
▼优质解答
答案和解析
画出图,
连接FP、FB,
△FBP中,FP=√(PD²+FD²)=√(1²+0.5²),
FB=√(AB²+FA²)=√(1²+0.5²),
所以△FBP是等腰三角形,FE为底边中线,所以FE为底边高线,
得到FE⊥PB (1)
∵PD⊥面ABCD,E是PB的中点,显然点E在面ABCD内的正投影为线段BD中点,设为O点
得到EO⊥面ABCD,有EO⊥BC (2)
连接FO,在正方形ABCD内,可以发现FO//AB,得到FO⊥BC (3)
由(2)(3)得到BC⊥面EOF,得到BC⊥EF (4)
有(1)(4)得到EF⊥面PBC
求二面角B-FC-E的大小:
∵EO⊥面ABCD,即EO⊥面BCF,
∴作OMEO⊥CF于M,连接EM,则∠EMO的大小就是二面角B-FC-E的大小
直角△EOM中,∠EOM=90°,EO=1/2,
OM=FO*sin(∠MFO)=1/2*sin(∠DCF)=1/2*(1/√5)=√5/10,
所以tan(∠EMO)=EO/OM=(1/2) / (√5/10)=√5
所求二面角B-FC-E的大小为arctan√5
连接FP、FB,
△FBP中,FP=√(PD²+FD²)=√(1²+0.5²),
FB=√(AB²+FA²)=√(1²+0.5²),
所以△FBP是等腰三角形,FE为底边中线,所以FE为底边高线,
得到FE⊥PB (1)
∵PD⊥面ABCD,E是PB的中点,显然点E在面ABCD内的正投影为线段BD中点,设为O点
得到EO⊥面ABCD,有EO⊥BC (2)
连接FO,在正方形ABCD内,可以发现FO//AB,得到FO⊥BC (3)
由(2)(3)得到BC⊥面EOF,得到BC⊥EF (4)
有(1)(4)得到EF⊥面PBC
求二面角B-FC-E的大小:
∵EO⊥面ABCD,即EO⊥面BCF,
∴作OMEO⊥CF于M,连接EM,则∠EMO的大小就是二面角B-FC-E的大小
直角△EOM中,∠EOM=90°,EO=1/2,
OM=FO*sin(∠MFO)=1/2*sin(∠DCF)=1/2*(1/√5)=√5/10,
所以tan(∠EMO)=EO/OM=(1/2) / (√5/10)=√5
所求二面角B-FC-E的大小为arctan√5
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