急!大一微积分题目,学长请进1.设数列{Xn}有界,又limyn=0证明：limXn·yn=0n→+∞n→+∞2设数列{Xn}有界,若X2k-1→a（k→∞）,X2k→a（k→∞）,证明limXn=a（n

Question

急!大一微积分题目,学长请进
1.设数列{Xn}有界,又limyn=0 证明：lim Xn·yn=0
n→+∞ n→+∞
2设数列{Xn}有界,若X 2k-1→a（k→∞）,X 2k→a（k→∞）,
证明lim Xn=a （n→∞）
n→∞
3证明数列{sin nπ（派）╱2}的极限不存在.

Answer 1

1. 设 M>0, |x(n)| ≤ M.
limy(n)=0  =>  任给ε>0, 存在正整数N,使得当n>N 时,总有 | y(n) - 0 | < ε/M
                                        此时 | x(n) y(n) - 0 | ≤ M |y(n)| < ε
即证 lim x(n) y(n) =0
2. 见图片
3.  {sin(nπ/2)}  = { 1,0,-1,0, 1,0,-1,0,  . }
    取 {sin (nπ/2)} 的两个子列：
    { 1, 1, 1, 1, . }
和  {0,0,0,0,…… } 
这两个子列不收敛于同一极限, 故原数列 {sin (nπ/2)} 不收敛 .