（1）选修4-2：矩阵与变换若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1＝10和e2＝01．（I）求矩阵A；（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．（2）选修4-4：坐标

Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为e1＝

1

0

和e2＝

0

1

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

x＝2sinθ

y＝cosθ

(θ为参数），C₂的参数方程为

x＝2t

y＝t+1

(t为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)＝

1

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优质解答

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
（I）设A=（

a	b
c	d

），由A

i

=λ₁

i

，A

j

=λ₂

j

得：

a	b
c	d

1

0

作业帮用户 2017-10-04 举报

问题解析

（1）（I）设A=（

a	b
c	d

），由A

i

=λ₁

i

，A

j

=λ₂

j

可求得a，b，c，d；
（II）设曲线x²+y²=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），由

2	0
0	−1

x

y

=

x′

y′

，可求得x与x′，y与y′之间的关系，从而可得新曲线方程；
（2）（I）消掉C₁：

x＝2sinθ

y＝cosθ

(θ为参数）与C₂：

x＝2t

y＝t+1

(t为参数）中的参数，可求得其普通方程；
（Ⅱ）依题意可知，在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C₂垂直的直线方程为y=-x，由tanθ=1可转化为极坐标方程；
（3）（I）通过对x分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组，即可求得不等式f（x）≤5的解集；
（II）g（x）=(1)/(f(x)+m)的定义域为R⇔f（x）+m≠0恒成立⇔f（x）+m=0在R上无解，利用绝对值函数的几何意义可求得f（x）的最小值，从而可求得m的范围．

名师点评

本题考点：

绝对值不等式的解法；特征值与特征向量的计算；参数方程化成普通方程．

考点点评：

本题考查绝对值不等式的解法，考查特征值与特征向量的计算，考查参数方程化成普通方程，考查抽象思维与转化能力，考查综合分析与运算能力，属于难题．

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Answer 1

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
（I）设A=（

a	b
c	d

），由A

i

=λ₁

i

，A

j

=λ₂

j

得：

a	b
c	d

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问题解析

（1）（I）设A=（

a	b
c	d

），由A

i

=λ₁

i

，A

j

=λ₂

j

可求得a，b，c，d；
（II）设曲线x²+y²=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），由

2	0
0	−1

x

y

=

x′

y′

，可求得x与x′，y与y′之间的关系，从而可得新曲线方程；
（2）（I）消掉C₁：

x＝2sinθ

y＝cosθ

(θ为参数）与C₂：

x＝2t

y＝t+1

(t为参数）中的参数，可求得其普通方程；
（Ⅱ）依题意可知，在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C₂垂直的直线方程为y=-x，由tanθ=1可转化为极坐标方程；
（3）（I）通过对x分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组，即可求得不等式f（x）≤5的解集；
（II）g（x）=(1)/(f(x)+m)的定义域为R⇔f（x）+m≠0恒成立⇔f（x）+m=0在R上无解，利用绝对值函数的几何意义可求得f（x）的最小值，从而可求得m的范围．

名师点评

本题考点：

绝对值不等式的解法；特征值与特征向量的计算；参数方程化成普通方程．

考点点评：

本题考查绝对值不等式的解法，考查特征值与特征向量的计算，考查参数方程化成普通方程，考查抽象思维与转化能力，考查综合分析与运算能力，属于难题．

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