如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形)．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米(0<x<4)，矩形EFGH的面积为．(1)求S

Question

如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形)．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米(0<x<4)，矩形EFGH的面积为．

(1)求S与x的函数关系式；____
(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/，黄色花草的价格为40元/．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)？____

Answer 1

【分析】(1)连接AC、BD，易证△BEF为等边三角形，从而求出EF的长，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，可得出S与x的函数关系式．
\n(2)根据(1)的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可.

(1)如图，连接AC、BD交于点O.

\n∵花坛为轴对称图形，
\n∴BA=BC，BE=BF.
\n∵∠ABC=60°，
\n∴△ABC、△BEF是等边三角形，
\n∴EF=BE=AB-AE=4-x.
\n在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
\n∴，
\n∴，
\n故可得．
\n(2)由题知，Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，
\n∴OA=2，OB=2，
\n∴菱形ABCD的面积为.
\n由(1)知矩形EFGH的面积为，
\n∴四个三角形的面积为.
\n设总费用为W元，
\n则

.
\n∵0<x<4，
\n∴当x=2时，W取得最小，，
\n即当x=2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为元．

【点评】本题是二次函数的应用，难点在于分别得出EF、EH关于x的表达式，另外要掌握配方法求二次函数的最值也很重要．