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已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0≤x＜2π），（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间．
题目详情
已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0≤x＜2π），
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调区间．
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调区间．
▼优质解答
答案和解析
（1）由题意得：f（x）=2sinxcosx+3（sinx+cosx），
设sinx+cosx=t
，则sin2x=t2-1，
于是只要求g（t）=t2+3t-1的值域．
又∵
，故与
时，g（t）取得最值．
即f（x）的值域为
…（6分）
（2）f'（x）=2cos2x+3（cosx-sinx）=（cosx-sinx）（2cosx+2sinx+3）
而2cosx+2sinx+3＞0
故f（x）的单调递减区间为
，f（x）的单调递增区间为
…（12分）
设sinx+cosx=t
，则sin2x=t2-1，于是只要求g（t）=t2+3t-1的值域．
又∵
，故与时，g（t）取得最值．即f（x）的值域为
…（6分）（2）f'（x）=2cos2x+3（cosx-sinx）=（cosx-sinx）（2cosx+2sinx+3）
而2cosx+2sinx+3＞0
故f（x）的单调递减区间为
，f（x）的单调递增区间为…（12分）
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