如图,已知点E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,切∠DAE=∠FAE.求证:AF=AD+CF.

Question

如图,已知点E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,切∠DAE=∠FAE.求证:AF=AD+CF.

Answer 1

已知：ABCD是正方形,点E是边CD的中点,∠DAE=∠FAE
做辅助线EG垂直于AF,点G在AF上,则EG是△AEF的高
因为：△ADE和△AEG,AE=AE,∠DAE=∠FAE,∠AGE=∠ADE=90°
所以：,∠AEG=∠AED,在直角三角形中一边和两角相等,两个三角形全等
所以：△ADE和△AEG全等
所以：AD=AG,DE=EG
点E是CD中点,则DE=EC
所以：DE=EC=EG,
在△EGF和△ECF中EC=EG,EF=EF,∠EGF=∠ECF=90°
在直角三角形中两边相等,那么两个三角形全等.
得到：△EGF和△ECF,所以：GF=CF
AF=AG+GF=AD+CF