设n是自然数,求证：10能被（n^5-n)整除.

Question

设n是自然数,求证：10能被（n^5-n)整除.

Answer 1

楼主的问题应改成：求证：10能整除（n^5-n),这很简单
证明：数学归纳法证明
①n=1,2时结论成立②设n=k（k≥2）结论成立,即10整除（k^5-k)
当n=k+1时,（k+1）^5-k-1=(k^5-k)+5k(k^3+1)+10k^3+10k^2
其中k(k^3+1)=k(k+1)(k^2-k+1)必定为偶数,故5k(k^3+1)能被10整除
从而n=k+1时结论成立
综上得证