已知数列{an}中，a1=1，an+2an-1+3=0（n≥2）．（1）判断数列{an+1}是否为等比数列？并说明理由．（2）求an．

Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+2a_n-1+3=0（n≥2）．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列？并说明理由．
（2）求a_n．

Answer 1

（1）由a_n+2a_n-1+3=0（n≥2），得
a_n=-2a_n-1-3（n≥2）．
∴a_n+1=-2（a_n-1+1）（n≥2）．
∵a₁=1，
∴a₁+1=2．
故数列{a_n+1}是以2为首项，以-2为公比的等比数列；
（2）∵数列{a_n+1}是以2为首项，以-2为公比的等比数列，
∴an+1＝2•(−2)n−1＝(−1)n−1•2n，
an＝(−1)n−1•2n−1．