已知△ABC中，|AC|＝1，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记f（θ）=AB•BC．（Ⅰ）求f（θ）关于θ的表达式；（Ⅱ）求f（θ）的值域．

Question

已知△ABC中，|

AC

|＝1，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记f（θ）=

AB

•

BC

．

（Ⅰ）求f（θ）关于θ的表达式；
（Ⅱ）求f（θ）的值域．

Answer 1

（I）由正弦定理有：(|BC|)/(sinθ)＝(1)/(sin1200)＝(|AB|)/(sin(600−θ))；
∴|BC|＝(1)/(sin1200)sinθ，|AB|＝(sin(600−θ))/(sin1200)；
∴f（θ）=

AB

•

BC

=(4)/(3)sinθ•sin(600−θ)•(1)/(2)=(2)/(3)((√(3))/(2)cosθ−(1)/(2)sinθ)sinθ=(1)/(3)sin(2θ+(π)/(6))−(1)/(6)(0＜θ＜(π)/(3))
（II）由0＜θ＜(π)/(3)⇒(π)/(6)＜2θ+(π)/(6)＜(5π)/(6)；
∴(1)/(2)＜sin(2θ+(π)/(6))≤1；
∴f（θ）∈(0，(1)/(6)]