已知函数f（x）=mx-αlnx-m，g（x）=exex，其中m，α均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，α＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|1g(x2)-1g(x1)|恒成立，求a的最小值；

Question

已知函数f（x）=mx-αlnx-m，g（x）=(ex)/(ex)，其中m，α均为实数．
（1）求g（x）的极值；
（2）设m=1，α＜0，若对任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|(1)/(g(x2))-(1)/(g(x1))|恒成立，求a的最小值；
（3）设α=2，若对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t₁、t₂（t₁≠t₂），使得f（t₁）=f（t₂）=g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）g′（x）=(e(1−x))/(ex)，令(e(1−x))/(ex)＝0，解得x=1，
∵e^x＞0，∴x∈（-∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．
（2）当m=1，a＜0时，f（x）=x-alnx-1，所以在[3，4]上f′（x）=(x−a)/(x)＞0，所以f（x）在[3，4]上是增函数．
设h（x）=(1)/(g(x))＝(ex)/(ex)，所以在[3，4]上h′（x）=(ex(x−1))/(ex2)＞0，所以h（x）在[3，4]上为增函数．
设x₂＞x₁，则|f(x2)−f(x1)|＜|(1)/(g(x2))−(1)/(g(x1))|恒成立，变成f(x2)−f(x1)＜(1)/(g(x2))−(1)/(g(x1))恒成立，即：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁）恒成立，即：f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁）．设u（x）=f（x）-h（x）=x−alnx−1−(1)/(e)•(ex)/(x)，则u（x）在[3，4]上为减函数．
∴u′（x）=1-(a)/(x)−(1)/(e)•(ex(x−1))/(x2)≤0在[3，4]上恒成立．
∴a≥x−ex−1+(ex−1)/(x)恒成立．设v（x）=x-−ex−1+(ex−1)/(x)，所以v′（x）=1-ex−1+(ex−1(x−1))/(x2)=1−ex−1[((1)/(x)−(1)/(2))2+(3)/(4)]，因为x∈[3，4]，所以ex−1[((1)/(x)−(1)/(2))2+(3)/(4)]＞(3)/(4)e2，所以v′（x）＜0，所以v（x）为减函数．
∴v（x）在[3，4]上的最大值为v（3）=3−(2)/(3)e2．
∴a≥3−(2)/(3)e2，∴a的最小值为：3−(2)/(3)e2．
（3）由（1）知g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g（0）=0，g（e）=(e2)/(ee)，所以g（x）的值域是（0，1]．
∵f（x）=mx-2lnx-m；
∴当m=0时，f（x）=-2lnx，在（0，e]为减函数，由题意知，f（x）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；
当m≠0时，f′（x）=(m(x−(2)/(m)))/(x)，由于f（x）在（0，e]上不单调，所以0＜(2)/(m)＜e，即m＞(2)/(e)；①
此时f（x）在（0，(2)/(m)）递减，在（(2)/(m)，e]递增；
∴f（e）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥(3)/(e−1)；②
所以由①②，得m≥(3)/(e−1)；
∵1∈（0，e]，∴f（(2)/(m)）≤f（1）=0满足条件．
下证存在t∈（0，(2)/(m)]使得f（t）≥1；
取t=e^-m，先证e−m＜(2)/(m)，即证2e^m-m＞0；③
设w（x）=2e^x-x，则w′（x）=2e^x-1＞0在[(3)/(e−1)，+∞）时恒成立；
∴w（x）在[(3)/(e−1)，+∞）上递增，∴w（x）≥w((3)/(e−1))＞0，所以③成立；
再证f（e^-m）≥1；
∵f(e−m)＝me−m+m＞m≥(3)/(e−1)＞1，∴m≥(3)/(e−1)时，命题成立．
所以m的取值范围是：[(3)/(e−1)，+∞）．