如图,在等边三角形abc中做矩形mnpq,且m,n,p,q,落在各边上,若ab=1,则,mnpq

Question

如图,在等边三角形abc中做矩形mnpq,且m,n,p,q,落在各边上,若ab=1,则,mnpq

Answer 1

设CP=x
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∵四边形NPQM是矩形
∴MN=PQ
∴∠MNP=∠OPN=90°
∴∠BNM=∠CPQ=90°
在△BNM与△CPQ中
∠B=∠C
∠BNM=∠CPQ
MN=PQ
∴△BNM≌△CPQ（AAS）
∴BN=CP=x
∵BC=1
∴PN=1-x
∵Rt△QPC中,∠C=60°
∴PQ=√3 PQ=√3•x
∴S矩NPQM
=(1-2x)•√3x
=½√3•(2x)•(1-2x)
方法1）
由均值不等式ab≤【½(a+b)】²,且仅当a=b时取等号
∴(2x)•(1-2x)≤【½[(2x)+(1-2x)]】=(1/2)²=1/4
∴½√3•(2x)•(1-2x)≤(√3)/8
即S矩NPQM最大值 (√3)/8
方法2）
或设y=(1-2x)•√3x=-2√3•x²+√3x
由二次函数的知识可知,当二次函数y=ax²+bx+c,a＜0时
当x=-b/2a时,y有最大值(4ac-b²)/4a
所以当x=-√3/[2×(-2√3)]=1/4时
有最大值 【4×(-2√3)×0-(√3)²】/【4×(-2√3)】=(√3)/8
所以S矩NPQM最大值 (√3)/8