设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且（A*)-1=(A-1）*（A*)-1表示A*的逆矩阵,（A-1）*表示A的逆矩阵的伴随阵请大家帮帮忙哦,感激了

Question

设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且（A*)-1=(A-1）*
（A*)-1表示A*的逆矩阵,（A-1）*表示A的逆矩阵的伴随阵
请大家帮帮忙哦,感激了

Answer 1

A可逆,所以|A|≠0,由 AA*＝|A|I 得 |A*|≠0,所以 A* 可逆
要证明（A*)-1=(A-1)*,只需证明：A*×(A-1)*＝I.
因为AA*＝|A|I,(A-1)(A-1)*＝|A-1|I,所以
A*＝|A|(A-1),(A-1)*＝|A-1|A
所以,A*×(A-1)*＝|A|(A-1)×|A-1|A＝|A|×|A-1|[(A-1)×A]＝I
所以,（A*)-1＝(A-1)*