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设函数f(X)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.求证:f(x)是周期函数
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设函数f(X)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.求证:f(x)是周期函数
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答案和解析
f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)
f(x)关于x=2对称,则f(2+x)=f(2-x)
故f(2+x)=f(2-x)
f(4+x)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x)
所以f(x)为周期函数,T=4即为其一个周期
f(x)关于x=2对称,则f(2+x)=f(2-x)
故f(2+x)=f(2-x)
f(4+x)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x)
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