设{An}是正项数列,其前n项和Sn满足：4Sn=(An-1)(An+3),则An=?

Question

设{An}是正项数列,其前n项和Sn满足：4Sn=(An-1)(An+3),则An=?

Answer 1

由4A1=4S1=(A1-1)(A1+3),即A1^2-2A1-3=0,利用 A1>0 知 A1=3.
因为 4Sn=(An-1)(An+3)=An^2+2An-3,4S(n-1)=A(n-1)^2+2A(n-1)-3,两式相减利用Sn-S(n-1)=An 得到：
4An=An^2-A(n-1)^2+2An-2A(n-1),即 An^2-A(n-1)^2-2An-2A(n-1)=0,从而 (An+A(n-1))(An-A(n-1)-2)=0.因为数列{An}是正项数列,所以 An+A(n-1)>0,因此只能有 An=A(n-1)+2,从而数列{An}是以A1=3 为首项,2为公差的等差数列,因此 An=A1+(n-1)*2=2n+1.
即{An}的通项公式为 An=2n+1.