如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

Answer 1

（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB＝6√(2)，
∵DF∥AB，CD＝(1)/(2)AC，
∴DF＝(1)/(2)AB＝3√(2)，（1分）
∴DE＝(3)/(2)√(2)，（1分）
在Rt△DEF中，cot∠DEF＝(DE)/(DF)＝((3)/(2)√(2))/(3√(2))＝(1)/(2)；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE=x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，
∵∠B=∠A，
∴∠AEH=∠A，HE＝HA＝(√(2))/(2)x，（1分）
∴HD＝3−(√(2))/(2)x，
又可证△HDE∽△CFD，
∴(HD)/(CF)＝(HE)/(DC)，（1分）
∴(3−(√(2))/(2)x)/(6−y)＝((√(2))/(2)x)/(3)，
∴y＝−(9√(2))/(x)+9(√(2)≤x≤3√(2))；（2分）

（3）∵CE≥(1)/(2)AB＝3√(2)＞3，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能．（1分）
当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：AE＝2AG＝3√(2)，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF=6；（2分）
当ED=EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠F=90°，
∴∠F=∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴(CF)/(DM)＝(CD)/(EM)，
∴(CF)/((3)/(2))＝(3)/(3+(3)/(2))，
∴CF=1，∴BF=7，（2分）
综上所述，BF为6或7．