在等边△ABC中，边AB=2cm，点D是边BC的中点，点E是从点B沿B→A→C的方向开始运动的一个动点，速度为1cm/s，当E点运动t秒时，（1）当△BED是直角三角形时，求t的值；（2）当DE将△ABC的周长分

Question

在等边△ABC中，边AB=2cm，点D是边BC的中点，点E是从点B沿B→A→C的方向开始运动的一个动点，速度为1cm/s，当E点运动t秒时，

（1）当△BED是直角三角形时，求t的值；
（2）当DE将△ABC的周长分成的两部分之间是2倍的关系时，求t的值；
（3）当点E只在边AC上运动时，是否存在一点E使得DE+BE的值取得最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请直接写出此时DE+BE的最小值（不要求写过程）．

Answer 1

（1）分两种情况：

当∠BED=90°时，
如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=(1)/(2)BD，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=(1)/(2)BC=(1)/(2)×2=1cm，
∴BE=(1)/(2)cm，
∴t=(1)/(2)秒；
当∠BDE=90°时，
∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴E与A重合，
∴BE=AB=2cm．
∴t=2秒
（2）分两种情况：

E点在AB上时，如图，
∵AB=AC=2cm，BD=CD=(1)/(2)BC=(1)/(2)×2=1cm，
设E点运动了t秒，则BE=t，AE=2-t，由题意得：
BE+BD=(1)/(2)（AE+AC+CD），
∴t+1=(1)/(2)（2-t+2+1），
解得t=1秒；
E点在AC上时，如图，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=(1)/(2)BC=(1)/(2)×2=1cm，E点运动了t秒，
则AB+AE=t，EC=AB+AC-t=4-t，
由题意得：BD+AB+AE=2（EC+CD），
∴1+t=2（4-t+1），
解得t=3秒．
故当t=1或3秒时，DE把△ABC的周长分成的两部分之间是2倍的关系．
（3）作B关于AC的对称点B′，然后连接BD交AC于E，即为所求；此时DE+BE=B′D；
作BG⊥BC于G，

∴△ABC是等边三角形，BC=2，
∴∠B′BC=30°，B′B=2√(3)，
∴B′G=√(3)，BG=3，
∵BD=CD=1，
∴DG=2，
在RT△B′GD中，B′D=√(DG2+B′G2)=√(7)．
∴DE+BE的最小值=√(7)．