已知双曲线x2a2-y2b2=1的右顶点为A，O是坐标原点，以A为圆心的圆与渐近线交于P、Q两点，且∠PAQ=60°，OQ=3OP，求双曲线的离心率．

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1的右顶点为A，O是坐标原点，以A为圆心的圆与渐近线交于P、Q两点，且∠PAQ=60°，OQ=3OP，求双曲线的离心率．

Answer 1

因为∠PAQ=60°且OQ=3OP，
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，则OP=R，
渐近线方程为y=(b)/(a)x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=(|-ab|)/(√(a2+b2))
由勾股定理可得（2R）²-R²=（(|-ab|)/(√(a2+b2))）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①
在△OQA中，((3R)2+(2R)2-a2)/(2•3R•2R)=(1)/(2)，所以7R²=a²②
①②结合c²=a²+b²，可得e=(c)/(a)=(√(7))/(2)．