实轴长为43的椭圆的中心在原点，其焦点F1，，F2在x轴上．抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面积为3．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方

Question

实轴长为4√(3)的椭圆的中心在原点，其焦点F₁，，F₂在x轴上．抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A，且AF₁⊥AF₂，△AF₁F₂的面积为3．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B，C，若

AC

＝2

AB

，求直线l的斜率k．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，AF₁=m，AF₂=n

由题意知

m2+n2＝4c2

m+n＝4√(3)

mn＝6

…（2分）
解得c²=9，∴b²=12-9=3．
∴椭圆的方程为(x2)/(12)+(y2)/(3)＝1…（4分）
∵y_A×c=3，∴y_A=1，代入椭圆的方程得xA＝2√(2)，
将点A坐标代入得抛物线方程为x²=8y．         …（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y−1＝k(x−2√(2))，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由

AC

＝2

作业帮用户 2017-10-11

问题解析

（Ⅰ）设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，AF₁=m，AF₂=n，由题意知

m2+n2＝4c2

m+n＝4√(3)

mn＝6

，由此能求出椭圆的方程和抛物线方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y−1＝k(x−2√(2))，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由

AC

＝2

AB

，得2x1−x2＝2√(2)，联立直线与抛物线的方程

y−1＝k(x−2√(2))

x2＝8y

，得x2−8kx+16√(2)k−8＝0，x1+2√(2)＝8k．联立直线与椭圆的方程

y−1＝k(x−2√(2))

x2+4y2＝12

，得(1+4k2)x2+(8k−16√(2)k2)x+32k2−16√(2)k−8＝0．由此能求出直线l的斜率．

名师点评

本题考点：

圆与圆锥曲线的综合．

考点点评：

本题考查椭圆和抛物线的标准方程的求法和求直线l的斜率k．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．

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