如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．

（1）求证：B₁C₁∥平面A₁DE；
（2）求证：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）
又因为在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁∥BC，所以B₁C₁∥DE…（4分）
又B₁C₁⊄平面A₁DE，DE⊂平面A₁DE，所以B₁C₁∥平面A₁DE…（6分）
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
又DE⊂底面ABC，所以CC₁⊥DE…（8分）
又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）
又CC₁，AC⊂平面ACC₁A₁，且CC₁∩AC=C，所以DE⊥平面ACC₁A₁…（12分）
又DE⊂平面A₁DE，所以平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁…（14分）