已知第一象限内点P(a,b)在曲线2y=1-1/x上,求a+1/b的最小值

Question

已知第一象限内点P(a,b)在曲线2y=1-1/x上,求a+1/b的最小值

Answer 1

由题意得,a、b>0,则有：
2b=1-1/a
2b=(a-1)/a
b=(a-1)/2a
1/b=2a/(a-1)
所以：
a+1/b
=a+2a/(a-1)
=a+[2(a-1)+2]/(a-1)
=a+2+2/(a-1)
=[(a-1)+2/(a-1)]+3
≥2√[(a-1)×2/(a-1)]+3
=2√2+3
其中等号成立条件是：(a-1)=2/(a-1),即：(a-1)²=2,a-1=±√2,a=1±√2,因a>0,所以：a=1+√2,则b=(2-√2)/2；
注：在电脑里,√表示二次根号的意思,如‘2√2+3’就表示2倍的根号2,再加上3；
对于正数x、y,有：(√x-√y)²≥0,展开即得：x+y≥2√xy,这就是基本不等式的形式之一.