数列求和收敛问题二则1.数列:k^(1/k)-1的无穷项之和S是否收敛?2.数列:1-k*sin(1/k)的无穷项之和S是否收敛?

Question

数列求和收敛问题二则
1.数列:k^(1/k)-1 的无穷项之和S是否收敛?
2.数列:1-k*sin(1/k) 的无穷项之和S是否收敛?

Answer 1

1.不收敛.因k>2时,k>e>(1+1/k)^/k,所以k^(1/k)-1>1/k>0 (k>2).而Σ1/k发散,由比较判别法知原级数发散.
2.收敛.用sin的Taylor公式:sin(1/k)=1/k-(1/6)*k^(-3)+o(k^(-3)),k->∞.所以1-k*sin(1/k)=(1/6)*k^(-2)+o(k^(-2)).由Σk^(-2)收敛及比较判别法,知原级数收敛.