设矩形A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程AX=b的通解.

Question

设矩形A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3.向量b=a
1+a2+a3+a4,求方程AX=b的通解.

Answer 1

b=a1+a2+a3+a4得到特解为（1,1,1,1）
0=a1-2a2+a3得到齐次解（1,-2,1,0）（只有这一个,因为A得秩是3 ,齐次解只能有4-3=1个）
所以通解为（1,1,1,1）+α（1,-2,1,0） (其中α为任意数）
线性方程组Ax=b,b=(0,0,...,0)'时,成为齐次线性方程组,否则成为非齐次的；
你题中的a1,a2,a3,a4均是列向量,可以写成x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b,
因为已经告诉了b=a1+a2+a3+a4,所以有一个特解是(1,1,1,1),
知道特解后,还需要找到Ax=0的基本解系（就是找到Ax=0的一组线性无关 解,并且这组线性无关的解能表示Ax=0的所有解）,
a2,a3,a4线性无关,基础解系里只有一个解,如果有多个,以两个为例,总可以在前面添加乘以适当的非零倍数,使第一个分量为零,此时也应该是Ax=0的解,而且是用a2,a3,a4表示的,即存在系数m,n,k使得ma2+na3+ka4=0,m,n,k只能全为零（a2,a3,a4否则线性相关）,此时基础解系里两个解线性相关,与基础解系的定义矛盾.
由a1=2a2-a3得到x=（1,-2,1,0）时Ax=0,所以它就是要找的基础解系,就得到最前的解了.