已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0），g（x）=ex-x．（1）证明：ea＞a；（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Question

已知函数f（x）=x ² -alnx（常数a＞0），g（x）=e ^x -x．
（1）证明：e ^a ＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，e ^a ）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）证明：得g′（x）=e ^x -1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=e ^x -1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，e ^a -a＞0，即e ^a ＞a．
（2）因为 f′(x)=2x-(a)/(x) =(2 x2 -a)/(x) = (2(x-(2a)/(2))(x+(2a)/(2)))/(x) ．
当 0＜x＜(2a)/(2) 时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当 x＞(2a)/(2) 时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴ f(x ) min =f((2a)/(2) )=(a)/(2) (1-ln(a)/(2) ) ．
又由（1）得 (a)/(2) ＜a＜ e a ＜ e 2a (a≥0，a＜2a)⇒(2a)/(2) ＜ e a ，
且当a＞2e时， (2a)/(2) ＞

e

＞1 ，有 1＜(2a)/(2) ＜ e a ．
而f（1）=1＞0，f（e ^a ）=e ^2a -a ² =（e ^a -a）（e ^a +a）＞0，
当a＞2e时， f(x ) min =f((2a)/(2) )=(a)/(2) (1-ln(a)/(2) )＜0 ，
所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，e ^a ）上有两个零点．