（2011•西城区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．（1）若BD=AC，AE=CD，在如图中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；（2）若AC＝3BD，CD＝3

Question

（2011•西城区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．
（1）若BD=AC，AE=CD，在如图中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（2）若AC＝√(3)BD，CD＝√(3)AE，求∠APE的度数．

Answer 1

（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，
∴∠APE=∠ADF，
∴在△AEF与△DCA中，

EF＝CA

∠AEF＝∠DCA

AE＝DC

，
则△AEF≌△DCA（SAS），
∴AD=AF，
∴△AFD为等腰直角三角形．
∴∠APE=45°．
答：∠APE的度数为45°．

（2）解法一：如图2，
将AE平移到DF，连接BF，EF．
则四边形AEFD是平行四边形．
∴AD∥EF，AD=EF．
∵AC＝√(3)BD，CD＝√(3)AE，
∴(AC)/(BD)＝√(3)，(CD)/(AE)＝(CD)/(DF)＝√(3)．
∴(AC)/(BD)＝(CD)/(DF)．
∵∠C=90°，
∴∠BDF=180°-∠C=90°．
∴∠C=∠BDF．
∴△ACD∽△BDF．
∴(AD)/(BF)＝(AC)/(BD)＝

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问题解析

（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，∠APE=∠ADF，可证AD=AF（全等），然后可得△AFD为等腰直角三角形．
所以∠APE=∠ADF=45°． 
（2）此题有2种解法，解法一：如图2，将AE平移到DF，连接BF，EF．则四边形AEFD是平行四边形，利用已知条件求证
△ACD∽△BDF．利用其对应边成比例可得(EF)/(BF)=√(3)，然后再利用在Rt△BEF中，tan∠BEF＝(BF)/(EF)＝(√(3))/(3)即可求得答案．
解法二：如图3，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．则四边形ACDF是平行四边形．根据∠C=90°，可得四边形ACDF是矩形，分别求出tan∠3和tan∠1，再利用(DF)/(BF)＝(AF)/(EF)＝(√(3))/(2)，求证△ADF∽△EBF利用等量代换即可求得答案．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评：

此题主要考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．

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