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在棱长都相等的四面体A-BCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,连接AF、CE,求异面直线AF和CE所成角的大小.
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连BE,取BE中点为G,连GF,连AG.平面三角形BCE中,F为BC中点,G为BE中点,则FG为三角形BCE中位线,故FG平行于CE.求异面直线AF和CE所成角的大小,转化为求直线AF和FG所成角的大小.\x0d设正四面体的棱长为1.则AE=1/2.\x0d在直角三角形ACE中,CE=根下(AC^2-AE^2)=(根下3)/2.\x0d同理AF=(根下3)/2,BE=(根下3)/2\x0d在三角形BCE中,中位线FG=(根下3)/4\x0d在直角三角形ABE中,BE=(根下3)/2,角AEB=60度,\x0dAG为斜边的中线,故AG=(根下3)/4.\x0d在三角形AFG中,由余弦定理得\x0d角AFG的余弦=(AF^2+FG^2-AG^2)/[2* AF*FG]=(3/4+3/16-3/16)/(6/8)=1\x0d所以异面直线AF和CE所成角的大小为90度.
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