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(2014•常德)如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.(1)求证:ED是⊙O的切线.(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.
题目详情
(2014•常德)如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.
(1)求证:ED是⊙O的切线.
(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.
(1)求证:ED是⊙O的切线.
(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,连接OD.
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,即∠OAE=90°.
在△AOE与△DOE中,
,
∴△AOE≌△DOE(SSS),
∴∠OAE=∠ODE=90°,即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径,
∴ED是⊙O的切线;
(2)如图,在△OAE中,∠OAE=90°,OA=3,AE=4,
∴由勾股定理易求OE=5.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵由(1)知,△AOE≌△DOE,
∴∠AEO=∠DEO,
又∵AE=DE,
∴OE⊥AD,
∴OE∥BC,
∴
=
=
.
BC=2OE=10,即BC的长度是10.
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,即∠OAE=90°.
在△AOE与△DOE中,
|
∴△AOE≌△DOE(SSS),
∴∠OAE=∠ODE=90°,即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径,
∴ED是⊙O的切线;
(2)如图,在△OAE中,∠OAE=90°,OA=3,AE=4,
∴由勾股定理易求OE=5.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵由(1)知,△AOE≌△DOE,
∴∠AEO=∠DEO,
又∵AE=DE,
∴OE⊥AD,
∴OE∥BC,
∴
OA |
AB |
OE |
BC |
1 |
2 |
BC=2OE=10,即BC的长度是10.
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