如图，AB是O的直径，BD交O于点C，E为BC的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE．（1）求证：AD为O的切线；（2）若cosD=35，AD=6，求FG的长．

Question

如图，AB是 O的直径，BD交 O于点C，E为 BC 的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE． 

（1）求证：AD为 O的切线；
（2）若cosD=(3)/(5)，AD=6，求FG的长．

Answer 1

（1）证明：连接AC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵E为

BC

的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAC=2∠BAE，
∵∠D=2∠BAE，
∴∠BAC=∠D，
∴∠ABC+∠D=90°，
∴∠BAD=90°，
∴BA⊥AD，
∴AD为 O的切线；
（2）∵cosD=(3)/(5)，AD=6，
∴sinD=(4)/(5)，BD=(AD)/(cosD)=(6)/((3)/(5))=10，
∴AC=AD•sinD=6×(4)/(5)=(24)/(5)，AB=√(BD2-AD2)=8，
在△FAG和△FAC中

∠FAG=∠FAC

∠AGF=∠ACF=90°

AF=AF

∴△FAG≌△FAC（AAS），
∴AG=AC=(24)/(5)，
∴BG=8-(24)/(5)=(16)/(5)，
∵FG⊥AB，DA⊥AB，
∴FG∥DA，
∴△BFG∽△BDA，
∴(FG)/(AD)=(BG)/(AG)，即(FG)/(6)=((16)/(5))/(8)，
∴FG=(12)/(5)．