（2014•浙江模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M．（1）求证：AM⊥PD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

Question

（2014•浙江模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M．
（1）求证：AM⊥PD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，AD∩PA=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD
∴AB⊥PD，
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM．
∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD．
（2）解法1：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，在Rt△PAD中，
得AM＝√(2)，在Rt△CDM中，得MC＝√(MD2+DC2)＝√(3)，
∴S△ACM＝(1)/(2)AM•MC＝(√(6))/(2)．
设点D到平面ACM的距离为h，由V_D-ACM=V_M-ACD，
得(1)/(3)S△ACM•h＝(1)/(3)S△ACD•(1)/(2)PA．解得h＝(√(6))/(3)，
设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sinθ＝(h)/(CD)＝(√(6))/(3)，
∴

作业帮用户 2017-10-26