直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为（）A．4π3B．4πC．32π3D．16π

Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为（　　）

A．(4π)/(3)
B．4π
C．(32π)/(3)
D．16π

Answer 1

设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，
三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，
有：OA=r，由于三棱柱的高为2，∴OD=1，
又在正三角形ABC中，AB=3，则AD=√(3)，
∴在直角三角形ADO中，OA²=OD²+AD²有r²=1²+（√(3)）²，
∴r=2，
则这个三棱柱的外接球的体积为V=(4π)/(3)×r³=(32π)/(3)．
故选C．