（2007•盐城一模）已知“接龙等差”数列a1，a2，…，a10，a11，…，a20，a21，…，a30，a31，…构成如下：a1=1，a1，a2，…，a10是公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20

Question

（2007•盐城一模）已知“接龙等差”数列a₁，a₂，…，a₁₀，a₁₁，…，a₂₀，a₂₁，…，a₃₀，a₃₁，…构成如下：a₁=1，a₁，a₂，…，a₁₀是公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差为d²的等差数列；…；a_10n，a_10n+1，a_10n+2，…，a_10n+10是公差为dⁿ的等差数列（n∈N^*）；其中d≠0．
（1）若a₂₀=80，求d；
（2）设b_n=a_10n．求b_n；
（3）当d＞-1时，证明对所有奇数n总有b_n＞5．

Answer 1

（1）由a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，
公差为1的等差数列，得a₁₀=10，
由a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列，
得a₂₀=a₁₀+10d=10+10d=80，
解得d=7．　　　　　…（4分）
（2）由题意有a₂₀=a₁₀+10d，
a₃₀=a₂₀+10d²，
a₄₀=a₃₀+10d³，
…
a_10n=a_10（n-1）+10d^n-1
累加得a_10n=a₁₀+10d+10d²+…+10d^n-1
=10+10d+10d²+…+10d^n-1…（8分）
所以b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1
=

(10(1−dn))/(1−d)(d≠1)

10n

 &(d＝1)

．…（10分）
（3）设n为奇数，
当d∈（0，+∞）时，
b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1＞10…（13分）
当d∈（-1，0）时，
bn＝(10(1−dn))/(1−d)，
由1＜1-d＜2及1-dⁿ＞1，
有bn＝(10(1−dn))/(1−d)＞(10)/(2)＝5
综上所述，当n为奇数且d＞-1时，
恒有b_n＞5．　　　　　　　　…（16分）