已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

圆C：x²+y²-2x+4y-4=0的圆心坐标（1，-2），
因为在两点A、B关于直线y=kx-1对称，所以直线经过圆的圆心，
所以-2=k-1，k=-1．直线AB的斜率为：1；
设直线AB的方程为x-y+b=0；对称轴方程为：x+y+1=0，

x−y+b＝0

x2+y2−2x+4y−4＝0

可得2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
x₁x₂=(b2+4b−4)/(2)，x₁+x₂=-b-1．
以AB为直径的圆经过原点．
x₁x₂+y₁y₂=0，2×(b2+4b−4)/(2)+b²+b（-b-1）+b²=0，解得b=1或b=-4
所以所求直线AB的方程为x-y+1=0或x-y-4=0．