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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点.(1)求二面角B-EC-A的正弦值;(2)在线段BC上是否存在点F,使得E到平面PAF的距离为255?若存在,确定
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(1)求二面角B-EC-A的正弦值;
(2)在线段BC上是否存在点F,使得E到平面PAF的距离为
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▼优质解答
答案和解析
解.(1)取PA中点G,连接EG、BG,
∵底面ABCD为正方形,
∴BC⊥AB,又BC⊥PB,
∴BC⊥平面PAB,
∴BC⊥PA.
同理CD⊥PA,
∴PA⊥平面ABCD.
过A作AH⊥BG于H,连接HE、AE.
∵BC⊥面PAB,∴AH⊥面GBCE
∵底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点
∴CE=
,AE=
,AC=2
,
∴AE⊥EC,
∴HE⊥EC
∴∠AHE为二面角B-EC-A的平面角,
∵AG=1,AB=2,
∴BG=
,
∴由等面积,可得AH=
=
,
∵AE=
∴在Rt△AHE中,sin∠AEH=
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2edd0b42b0588e1001e9380193d4.jpg)
∵底面ABCD为正方形,
∴BC⊥AB,又BC⊥PB,
∴BC⊥平面PAB,
∴BC⊥PA.
同理CD⊥PA,
∴PA⊥平面ABCD.
过A作AH⊥BG于H,连接HE、AE.
∵BC⊥面PAB,∴AH⊥面GBCE
∵底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点
∴CE=
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2 |
∴AE⊥EC,
∴HE⊥EC
∴∠AHE为二面角B-EC-A的平面角,
∵AG=1,AB=2,
∴BG=
5 |
∴由等面积,可得AH=
AB•AG |
BG |
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5 |
∵AE=
2 |
∴在Rt△AHE中,sin∠AEH=
AH |
AE |
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