如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．（1）求二面角B-EC-A的正弦值；（2）在线段BC上是否存在点F，使得E到平面PAF的距离为255？若存在，确定

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（1）求二面角B-EC-A的正弦值；
（2）在线段BC上是否存在点F，使得E到平面PAF的距离为(2√(5))/(5)？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解．（1）取PA中点G，连接EG、BG，
∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD．
过A作AH⊥BG于H，连接HE、AE．  
∵BC⊥面PAB，∴AH⊥面GBCE
∵底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点
∴CE=√(6)，AE＝√(2)，AC＝2√(2)，
∴AE⊥EC，
∴HE⊥EC
∴∠AHE为二面角B-EC-A的平面角，
∵AG=1，AB=2，
∴BG=√(5)，
∴由等面积，可得AH=(AB•AG)/(BG)=(2√(5))/(5)，
∵AE=√(2)
∴在Rt△AHE中，sin∠AEH＝(AH)/(AE)＝((2√(5))/(5))/(作业帮用户2017-10-01问题解析（1）由题意及正方形的特点，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，进而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到线面垂直．过A作AH⊥BG于H，连接HE、AE，则∠AHE为二面角B-EC-A的平面角，求出AH，AE，即可求二面角B-EC-A的正弦值；（2）设存在点F满足题意，过D作DM⊥AF于M，连PF，则DM⊥面APF，求出AF，可得BF，即可得出结论．名师点评本题考点：与二面角有关的立体几何综合题．考点点评：本题重点考查了线线垂直，线面垂直的判定与性质，考查了利用三垂线定理求解出二面角的平面角，考查学生的计算能力，属于中档题．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)